Volver a Guía
Ir al curso
Reportar problema
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Calcule los siguientes límites
e) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (3 x)}{x}$
e) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (3 x)}{x}$
Respuesta
Voy a dejar la resolución sin usar L'Hopital sólo por si hay alguien muy interesado en ver cómo sale.
Acá ya es menos obvio cómo reescribir la expresión para que nos aparezca el "límite especial" que conocemos en este punto, hay que aplicar varias magias (que no serían necesario si lo resolvés usando L'Hopital, este límite sale en 2 segundos por L'Hopital, pero si insistis en ver la resolución sin L'Hopital... preparate que acá va...)
Multiplicamos y dividimos la expresión por el conjugado de \(1 - \cos(3x)\), que es \(1 + \cos(3x)\)
$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (3x)}{x} \cdot \frac{1+\cos(3x)}{1+\cos(x)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos (3x))(1+\cos(3x))}{x(1+\cos(3x))} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos^2(3x)}{x(1+\cos(3x))}
$
Esto lo hicimos para poder usar ahora la identidad trigonométrica \(1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)\):
$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2(3x)}{x(1+\cos(3x))}
$
Reacomodamos:
$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(3x)}{x} \cdot \sin(3x) \cdot \frac{1}{1+\cos(3x)}
$
En la expresión de la izquierda multiplicamos y dividimos por $3$ para que nos aparezca el límite especial:
$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3}{3} \frac{\sin(3x)}{x} \cdot \sin(3x) \cdot \frac{1}{1+\cos(3x)}
$
Tomamos límite:
$
\lim _{x \rightarrow 0} 3 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot \sin(3x) \cdot \frac{1}{1+\cos(3x)} = 3 \cdot 0 \cdot \frac{1}{2} = 0
$
(No, si te aparece un límite así en el parcial seguro lo vas a resolver con L'Hopital. Te juro que este límite con L'Hopital salía casi a ojo, sólo hay que saber derivar... falta poco!)